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🔑  Etude d'un système d'équations linéaires - [Retour au menu d'accueil]
Nombre d'inconnues (de 1 à 10)
Les inconnues sont des lettres de l'alphabet
Les inconnues sont de la forme xi où i est un entier


Mots clés :

- Sous-espace affine des solutions

- Sous-espaces vectoriels associés aux sous-espaces affines

- Traitement des équations particuliéres (amenant à l'ensemble vide ou sans effet)

- Résolution graphique dans les cas simples

- Indication sur les méthodes classiques de résolution (addition ou combinaison, substitution) dans les cas simples

Voici quelques indications sur la méthode de résolution utilisée. C'est une méthode pas-à-pas, ou encore équation par équation, c'est-à-dire que l'ensemble des solutions est mis à jour à chaque fois qu'une nouvelle équation est introduite et acceptée. L'étude de chaque nouvelle équation permet de se placer dans l'un des cas suivants :

Cas 1 (usuel) : l'équation apporte une contrainte supplémentaire et permet de réduire l'ensemble des solutions à un ensemble de dimension inférieure

Cas 2 : l'équation est inutile car apporte une contrainte déjà respectée par l'ensemble des solutions

Cas 3 : l'équation est incohérente car apporte une contrainte impossible à prendre en compte, ce qui conduit à un système sans solution

Voyons cela sur un exemple, en dimension 4 avec comme inconnues x, y, z, t.

DEBUT :
- On saisit : x + y = 3
L'équation est acceptée. A ce stade, l'ensemble des solutions est un espace affine de dimension 3

- On saisit : y + z = 5 ; z + t = 7
Les deux équations sont acceptées. A ce stade, l'ensemble des solutions est une droite (espace affine de dimension 1)

- On saisit : x + 2y + z = 8
L'équation est refusée car inutile, cette équation est simplement la somme des deux premieres

- On saisit : t - y = 10
L'équation est refusée car en contradiction avec l'équation obtenue par difference entre la troisième et la deuxième équation

- On saisit : 4x + t = 8
L'équation est acceptée. La solution trouvée est le point de coordonnées (1, 2, 3, 4)

FIN (tout autre équation introduite ne modifie plus la solution)

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