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🔑  Etude d'un système d'équations linéaires - [Retour au menu d'accueil]
Nombre d'inconnues (de 1 à 10)
Les inconnues sont des lettres de l'alphabet
Les inconnues sont de la forme xi où i est un entier


Mots clés :

- Hyperplan affine associé à une équation, vecteur orthogonal associé à une équation

- Sous-espace affine des solutions

- Sous-espaces vectoriels associés aux sous-espaces affines

- Traitement des équations particuliéres (sans effet ou amenant à l'ensemble vide), les premières sont cellles qui sont obtenues par combinaison linéaire des équations existantes et les secondes sont celles qui contredisent une combinaison linéaire des équations existantes. La difficulté est de détecter ces cas particuliers et de déterminer ces combinaisons linéaires spécifiques

- Résolution graphique dans les cas simples

- Indication sur les méthodes classiques de résolution (addition ou combinaison, substitution) dans les cas simples


Voici quelques indications sur la méthode de résolution utilisée. C'est une méthode pas-à-pas, ou encore équation par équation, c'est-à-dire que l'ensemble des solutions est mis à jour à chaque fois qu'une nouvelle équation valide est introduite. L'étude de chaque nouvelle équation permet de se placer dans l'un des cas suivants :

Cas 1 (usuel) : l'équation apporte une contrainte supplémentaire et permet de réduire l'ensemble des solutions à un ensemble de dimension inférieure

Cas 2 : l'équation est inutile car apporte une contrainte déjà respectée par l'ensemble des solutions

Cas 3 : l'équation est incohérente car apporte une contrainte impossible à prendre en compte, ce qui conduit à un système sans solution

Voyons cela sur un exemple, en dimension 4 avec comme inconnues x, y, z, t.

DEBUT :
- On saisit : x + y = 3
L'équation est acceptée. A ce stade, l'ensemble des solutions est un sous-espace affine de dimension 3

- On saisit : y + z = 5 ; z + t = 7
Les deux équations sont acceptées. A ce stade, l'ensemble des solutions est une droite (sous-espace affine de dimension 1)

- On saisit : x + 2y + z = 8
L'équation est refusée car inutile, cette équation est simplement la somme des deux premieres

- On saisit : t - y = 10
L'équation est refusée car en contradiction avec l'équation obtenue par difference entre la troisième et la deuxième équation

- On saisit : 4x + t = 8
L'équation est acceptée. La solution trouvée est le point de coordonnées (1, 2, 3, 4)

FIN (tout autre équation introduite ne modifie plus la solution)

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